Matematica applicata a Magic the Gathering

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snuffz
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Matematica applicata a Magic the Gathering

Post by snuffz » 22/05/2009 08:52

Chiedo aiuto ai matematici.
Giocando a Magic ci si scontra inevitabilmente con la “probabilità”, probabilità di pescare la carta giusta al momento giusto, la carta che risolve la partita.
Non essendo ferrato in matematica, vi giro un paio di dubbi.

Un mazzo di magic è composto da 60 carte, mescolate in maniera casuale.
Di ogni carta (creatura o magia) possono essercene al massimo 4 copie, quindi 4 Vampiri, 4 Zombie, 4 Ratti…
Prendiamo la carta “vampiro” come esempio. Abbiamo detto che ci sono 4 carte vampiro nel mazzo di 60 carte.
A inizio gioco pesco 7 carte.
Domanda1: Quante probabilità ho, alla prima mano, di pescare un vampiro?

Ammettiamo che pescando 7 carte non trovi neanche un vampiro.
Inizia la partita.
Al mio primo turno posso pescare 1 sola carta.
Nel mazzo ne rimangono 53 (e in queste 53 ci sono 4 vampiri).
Domanda2: Quante possibilità ho con questa pescata di trovare un vampiro?

:? :?

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Post by CuginoIt » 22/05/2009 09:32

Domanda 1

La probabilità di NON pescare vampiro nella prima mano è:

Numero di tutte le settuple che non contengono vampiro / numero di tutte le settuple.
In formule (argh, non ho tempo di scrivere i binomiali come si deve):

Binomiale(56,7) / Binomiale(60,7) = (56*55*54*...*51*50)/(60*59*...*55*54)= 60,05%

Quindi la probabilità di pescare un vampiro alla prima mano nel caso in cui ce ne siano 4 su 60 è circa il 39,95%

Occorre però notare che non sto considerando il caso in cui devi "maligare" poichè hai solo terre in mano, o non hai terre in mano.

Domanda 2

Ci sono 4 vampiri su 53 carte rimaste quindi la probabilità di pescare un vampiro in prima pescata se non ce l'hai in mano è 4/53 = 7,55% circa.

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Post by Mano[FA] » 22/05/2009 10:41

CuginoIt wrote: Quindi la probabilità di pescare un vampiro alla prima mano nel caso in cui ce ne siano 4 su 60 è circa il 39,95%
la probabilità di pescare uno o più vampiri :teach:

P.S.: quando ho un po' di tempo controllo i calcoli di QG :)

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Post by CuginoIt » 22/05/2009 11:53

Se ne peschi 2, l'affermazione "ho pescato un vampiro" e' comunque vera :teach:

A parte gli scherzi, io intendo sempre almeno uno.

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Post by snuffz » 22/05/2009 14:15

Quindi la probabilità di pescare un vampiro alla prima mano nel caso in cui ce ne siano 4 su 60 è circa il 39,95%
Sei sicuro che il calcolo sia esatto?
Mi sembra una probabilità troppo alta.
Io facendo i conti della serva avevo calcolato che 7 carte su 60, sono circa il 12% del mazzo.
Com'è possibile che pescando il 12% del mazzo abbia il 39,95% di probabilità di pescare la carta giusta?
(non è che dico che il tuo calcolo è errato, ma me lo spieghi come faresti con uno zulù?).
Ci sono 4 vampiri su 53 carte rimaste quindi la probabilità di pescare un vampiro in prima pescata se non ce l'hai in mano è 4/53 = 7,55% circa.
Perfetto!
Quindi nelle mani successive 4/52 , 4/51, 4/50 ... Proiettato nei turni, Ipotizzando che restino solo più 8 carte e non siano ancora usciti i vampiri, avremo 4/8 che dà esattamente 50% delle probabilità.
:king:

Altra domanda (forse questa è più complessa).
Ipotizzando di giocare con 2 colori, e di avere nel mazzo 10 terre rosse e 10 nere, qual è la probabilità di pescare, con la prima mano di 7 carte, 1 terra rossa e 1 nera?

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Post by Mano[FA] » 22/05/2009 14:38

snuffz4lorda wrote: Sei sicuro che il calcolo sia esatto?
Mi sembra una probabilità troppo alta.
Io facendo i conti della serva avevo calcolato che 7 carte su 60, sono circa il 12% del mazzo.
Il calcolo di QG dovrebbe essere giusto. Facendo i calcoli della serva:

la probabilita' di pescare un Vampiro pescando una carta e' 4/60 = 0.0666 = 6,6%
Se moltiplichi questa probabilita' per 7 ottieni 46,6%.
Ovviamente non si fa cosi' altrimenti dopo 15 carte avremmo la certezza di avere un vampiro, ma l'ordine di grandezza si avvicina. Il tuo calcolo forse non considerava che ci sono 4 vampiri nel mazzo.
Quindi nelle mani successive 4/52 , 4/51, 4/50 ... Proiettato nei turni, Ipotizzando che restino solo più 8 carte e non siano ancora usciti i vampiri, avremo 4/8 che dà esattamente 50% delle probabilità.
si, SE arrivi ad avere solo 8 carte nel grimorio e non aver pescato nessun vampiro, hai il 50% di pescarlo, ma e' un evento estremamente raro arrivare in questa situazione. Nel 50% delle partite peschi un vampiro nelle prime... non so, credo 10 carte. Potremmo calcolarlo...

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Post by Mano[FA] » 22/05/2009 15:39

Altra domanda (forse questa è più complessa).
Ipotizzando di giocare con 2 colori, e di avere nel mazzo 10 terre rosse e 10 nere, qual è la probabilità di pescare, con la prima mano di 7 carte, 1 terra rossa e 1 nera?
Che qualcuno controlli quanto scrivo perche' sono anni che non calcolo probabilita':

Seguendo il ragionamento di QG, la percentuale di mani con almeno una terra rossa sono

1 - (50*49*48*47*46*45*44) / (60*59*58*57*56*55*54) = 74.14 %

Ora, di queste mani, quante, tra le rimanenti 6 carte, hanno almeno una terra nera?
Gli eventi non sono indipendenti perche' se abbiamo gia' pescato una rossa e' relativamente piu' facile pescare una nera.

Con un discorso analogo la percentuale di esuple (?) con almeno una carta nera sono

1 - (49*48*47*46*45*44)/(59*58*57*56*55*54) = 68.96 %

inizio da 49 e 59 perche' queste esuple non possono avere la carta rossa che abbiamo gia' pescato.

quindi moltiplicando le due probabilita' (che ora sono indipendenti perche' gia' consideriamo nella seconda che non possiamo pescare la terra rossa)

74.14% * 67.21% = 51.13%

Quindi poco piu' del 50% delle mani avranno una terra rossa e una nera.

La probabilita' che ci sia almeno una terra (di qualunque colore) e'

1 - (40*39*38*37*36*35*34) / (60*59*58*57*56*55*54) = 95.2%

un bel valore "scientifico"

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Post by Lysor_o.O » 22/05/2009 23:10

Confermo i conti di QG per la domanda 1 e la 2; la 3 sembra parecchio complessa e ancora non ci ho pensato.

Un metodo secondo me molto più semplice per fare i conti è questo. Come QG, calcolo la probabilità che nella prima mano non ci sia nemmeno un vampiro. Per la prima carta, ho in totale 60 carte, e quelle che a me vanno bene (nel senso: che non sono un vampiro) sono 56, quindi con una carta ho 56 probabilità su 60 di non pescarlo. Ora restano 59 carte nel mazzo, di cui le non-vampiro sono 55, quindi in queste condizioni la probabilità di pescare una carta che non sia un vampiro è 55/59. La probabilità che succedano entrambe le cose è 56/60 * 55/59. Ora prendiamo in considerazione cosa resta: 58 carte, di cui 54 non vampiro. La probabilità è quindi 54/58, che insieme a prima mi dà: 56/60 * 55/59 * 54/58. Vado avanti così per 7 carte, quindi viene, alla fin fine,

56/60 * 55/59 * 54/58 * 53/57 * 52/56 * 51/55 * 50/54 = 0,6005 che corrisponde appunto al 60,05%, quindi la probabilità che questo caso (quello di non trovare nessun vampiro) non si verifichi (e quindi ne trovi almeno 1) è quello che manca ad arrivare a 100%, quindi il 39,95%.

Per la domanda 3: intendi dire che vuoi ALMENO 1 terra rossa e ALMENO 1 nera, oppure ne vuoi ESATTAMENTE 1 nera e 1 rossa?

EDIT: Snuffz, amami! 8)
La probabilità che ci interessa, nel caso della domanda 1, è una probabilità "nota" che ha un nome: viene detta ipergeometrica (http://it.wikipedia.org/wiki/Ipergeometrica). Come dicono sulla wiki, rappresenta la probabilità che, data un'urna con N oggetti di cui r di un certo tipo, estraendone n senza rimpiazzo esattamente k siano di quel tipo. Nel nostro caso,
N sono le carte del mazzo, quindi 60;
r sono i vampiri nel mazzo, quindi 4;
n sono le carte della prima mano, quindi 7;
k sono i vampiri nella prima mano, quindi... Beh, dipende! Quanti ne vuoi?

Ed ecco un sito che permette di calcolare comodamente questa probabilità: http://stattrek.com/Tables/Hypergeometric.aspx

Population size: 60
Sample size: 7
Number of successes in population: 4
Number of successes in sample: quello che vuoi tu

Ti dà 2 risultati, non 1: il primo (Hypergeometric probability) è la probabilità di avere ESATTAMENTE quel numero di vampiri (né più né meno); il secondo (Cumulative probability ) ti dice quante sono le probabilità di avere FINO A quel numero di vampiri.

Per esempio, se metti 0 ti calcola la probabilità di avere esattamente 0 vampiri, oppure di averne fino a 0: in questo caso coincidono, ed è 0.600500374255334 (che conferma i nostri calcoli... Grazie al cielo!!! :asd: ); se invece metti 1 in "Number of successes in sample", ti dà che la probabilità singola è 0.336280209582987, mentre la cumulata è 0.936780583838321, che è banalmente la somma dei 2 risultati, questo e quello precedente: 0.60+0.33=0.93.
Si trova quindi che nel 60% dei casi non avrai in mano neanche un vampiro, nel 33% ne avrai esattamente 1, nel 6% circa ne avrai 2, nello 0,3% (3 volte su 1000!) ne avrai 3, e solo 7 volte su 100.000 li avrai tutti e 4.

Questo sito ti permette di giocare un po': per esempio, se tu volessi sapere quante probabilità hai di avere almeno 1 vampiro mettendone solo 3 nel mazzo, basterebbe usare 60, 7, 3, e 0, e poi invertire. Per la cronaca, viene 32%. Con solo 2 vampiri nel mazzo, ne hai almeno 1 in prima mano nel 23% dei casi; con 1 solo vampiro, infine, lo peschi in prima mano nel 12% dei casi.

Non ho voglia di pensare alla domanda numero 3, ci penserò domani. In realtà, c'è una cosa nel ragionamento di Mano che non mi convince, ma non significa niente, perché inizialmente credevo che fossero sbagliati anche i conti di QG sulla domanda 1, poi mi sono accorto che sbagliavo io.
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Tu vedi delle cose e chiedi: perché? Ma io sogno di cose che non ci sono mai state, e che forse non ci saranno mai, e dico: perché no?
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Post by Lysor_o.O » 23/05/2009 16:43

Rieccomi. Mano, il tuo ragionamento non mi convince perché tu per prima cosa calcoli la probabilità di avere almeno 1 terra rossa, ma poi ti chiedi quante delle rimanenti 6 carte sono terre nere. Ma non è detto che le altre carte siano 6! All'interno della probabilità che hai calcolato rientrano anche i casi in cui hai in realtà anche 2, 3, 4, 5, 6, e 7 terre rosse, quindi non è vero che ci sono altre 6 carte tra cui cercare almeno una nera. Penso che i tuoi calcoli funzionerebbero se tu facessi questo: calcolare quante probabilità ci sono di avere ESATTAMENTE 1 terra rossa, e poi tra le rimanenti 6 almeno 1 terra nera; poi calcolare quante probabilità ci sono di avere ESATTAMENTE 2 terre rosse, e tra le rimanenti 5 almeno 1 terra nera; ecc, ecc, e alla fine dovresti calcolare l'OR tra tutti questi casi: P((1 rossa e almeno 1 nera) || (2 rosse e almeno 1 nera) || (3 rosse e almeno 1 nera) || (4 rosse e almeno 1 nera) || (5 rosse e almeno 1 nera) || (6 rosse e almeno 1 nera)); il caso 7 rosse ovviamente non conta perché a quel punto le carte sono finite e non ci può essere 1 nera. Quindi sono tante probabilità condizionate, ad esempio la prima è: sapendo che è stata pescata 1 (e una sola) rossa, quante sono le probabilità di pescare almeno 1 nera? Cioè: quant'è la probabilità di pescare almeno 1 nera, condizionata dal fatto che è già stata pescata 1 rossa? Poi la seconda: quant'è la probabilità di pescare almeno 1 nera, condizionata dall'aver già pescato 2 rosse? E via così. Alla fine devi fare l'OR di tutti questi casi, perché a te ne va bene uno qualunque. Poiché gli eventi sono disgiunti (non si possono verificare a 2 alla volta, visto che stiamo considerando le probabilità di pescare ESATTAMENTE 1 rossa, ESATTAMENTE 2 rosse, ecc: non se ne possono verificare 2, di queste), l'OR è banalmente la somma.

Sviluppiamo i calcoli, un blocco alla volta:
1) P(esattamente 1 rossa e almeno 1 nera) = P(esattamente 1 rossa) * (1 - P(nessuna nera pescandone 6 dalle 59 rimanenti, di cui 10 nere)) = (usando la notazione del sito)
ipergeometrica (60, 7, 10, 1) * (1 - ipergeometrica(59, 6, 10, 0))
2) P(esattamente 2 rosse e almeno 1 nera) = P(esattamente 2 rosse) * (1 - P(nessuna nera pescandone 5 dalle 58 rimanenti, di cui 10 nere)) =
ipergeometrica (60, 7, 10, 2) * (1 - ipergeometrica(58, 5, 10, 0))
3) P(esattamente 3 rosse e almeno 1 nera) = P(esattamente 3 rosse) * (1 - P(nessuna nera pescandone 4 dalle 57 rimanenti, di cui 10 nere)) =
ipergeometrica (60, 7, 10, 3) * (1 - ipergeometrica(57, 4, 10, 0))

e via così, quindi anche

4) ipergeometrica (60, 7, 10, 4) * (1 - ipergeometrica(56, 3, 10, 0))
5) ipergeometrica (60, 7, 10, 5) * (1 - ipergeometrica(55, 2, 10, 0))
6) ipergeometrica (60, 7, 10, 6) * (1 - ipergeometrica(54, 1, 10, 0))

e alla fine bisogna sommare il tutto. I calcoli allora danno (nel secondo passaggio cambio il punto con la virgola, se no la calcolatrice di Windows non me li accetta):

1) = 0.411455600018767 * (1 - 0.310355081157013) = 0,411455600018767 * (1 - 0,310355081157013) = 0,283758263882435088069126337029
2) = 0.24687336001126 * (1 - 0.373692852821709) = 0,24687336001126 * (1 - 0,373692852821709) = 0,15461854982297143670498755666
3) = 0.0715574956554378 * (1 - 0.451545530492899) = 0,0715574956554378 * (1- 0,451545530492899) = 0,0392460283189598231658963638178
4) = 0.0106574993529375 * (1 - 0.547619047619048) = 0,0106574993529375 * (1 - 0,547619047619048) = 0,0048212497072812459400002465
5) = 0.000799312451470316 * (1 - 0.666666666666667) = 0,000799312451470316 * (1 - 0,666666666666667) = 0,000266437483823438400229182843228
6) = 2.71874983493305E-05 * (1 - 0.814814814814815) = 2,71874983493305E-05 * (1 - 0,814814814814815) = 0,0000050347219165426801504632686425

E la somma fa 0,51714034254906615218628626743464, quindi 51% circa che viene praticamente identico a quello di Mano, AAAAAAAAARRRGH!


Controprova:

vogliamo calcolare P(terre rosse >= 1 && terre nere >= 1); questa è quella che chiamiamo P(successo). Ovviamente, è P(successo) = 1 - P(fallimento), dove fallimento è la probabilità negata; ma grazie alle leggi di De Morgan (http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di_De_Morgan), P(fallimento) = P((rosse = 0) || (nere = 0)) = P(rosse = 0) + P(nere = 0) - P(rosse = 0 && nere = 0), quindi
P(successo) = 1 - (ipergeometrica(60, 7, 10, 0) + ipergeometrica(60, 7, 10, 0) - ipergeometrica(60, 7, 20, 0)) =
= 1 - (0.258629234297511 + 0.258629234297511 - 0.0482735006405375) = 1 - (0,258629234297511 + 0,258629234297511 - 0,0482735006405375) = 0,5310150320455155.

I risultati quindi NON coincidono. Direi che possiamo prendere la media e dovremmo essere contenti! :lol: In attesa che anche QG si pronunci, ottenendo possibilmente un altro risultato ancora... :asd:


Snuffz, se ora mi chiedi di farti i calcoli con le terre doppie ti sputo in un occhio! :asd:
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Post by Mano[FA] » 23/05/2009 22:55

Lysor_o.O wrote:Rieccomi. Mano, il tuo ragionamento non mi convince perché tu per prima cosa calcoli la probabilità di avere almeno 1 terra rossa, ma poi ti chiedi quante delle rimanenti 6 carte sono terre nere.
Mhhh... non proprio. Il tuo approccio è molto complicato e da quel che ricordo dalle lezioni di probabilità, il modo più "semplice" è quello di CONTARE quante sono le combinazioni che vanno bene sul totale possibile.

Come diceva QG per i vampiri le combinazioni totali sono
60*59*58*57*56*55*54

le combinazioni che NON hanno una terra rossa sono
50*49*48*47*46*45*44.

Quindi per differenza sappiamo quante hanno ALMENO una terra rossa.

Ora, prova a pensare di scrivere tutte queste combinazioni e di "riordinare" le carte in modo che la prima sia una terra rosa (non cambi il numero di combinazioni, solo le rimetti in ordine.) Ora: una percentuale delle settuple con almeno una terra rossa avrà anche una terra nera. Per sapere che percentuale, posso contare quante volte 6 carte prese da un mazzo di 59 carte con 9 terre rosse e 10 nere hanno almeno una terra nera.

1 - (49*48*47*46*45*44)/(59*58*57*56*55*54) = 68.96 %

Tra il rimanente 31,04% c'è anche la combinazione "tutte rosse", solo che non mi va bene

quindi come dicevo prima la percentuale che cerchiamo è
74.14% * 68.96 % = 51,13%

Potrebbe esserci un problema di "indipendenza", e cioè che le combinazioni di 6 carte in cui la settime era una terra rossa potrebbero non essere le stesse che prendendo 6 carte da un mazzo di 59, con 9 terre rosse e 10 nere.

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Post by CuginoIt » 25/05/2009 14:06

"Potrebbe esserci un problema di "indipendenza", e cioè che le combinazioni di 6 carte in cui la settime era una terra rossa potrebbero non essere le stesse che prendendo 6 carte da un mazzo di 59, con 9 terre rosse e 10 nere."

In effetti temo, Mano, che questo sia il nocciolo del problema. Ci ho pensato un poco e non sono giunto a una conclusione... Non appena ci arrivo vi faccio sapere.

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Post by snuffz » 25/05/2009 14:28

Snuffz, se ora mi chiedi di farti i calcoli con le terre doppie ti sputo in un occhio!
Ehheheeh non mi aspettavo una simile tempesta neuronale, e confesso tranquillamente di non capire il 90% dei calcoli che avete scritto ma di accettarne i risultati come oro colato.

Quelle sopra sono alcune fra le domande più comuni che si pone un qualunque giocatore di Magic a inizio partita.
Avrò il mana necessario? Mi arriverà la creatura XYZ almeno nei primi turni? Poter mettere in campo una certa creatura al primo turno può avere un significato completamente diverso che metterla in gioco al 6° o 7° (tanto per fare un esempio -> http://magiccards.info/scans/en/pc/145.jpg)
Anzi alcune volte ci si interroga proprio sulla casistica, specialmente quando nelle prime 7 carte non si pesca neanche una terra (di 60 carte almeno 20 sono terre :cry: ), oppure quando si pescano SOLO terre :cry: , o addirittura tutti e 4 i "vampiri" (adesso so che succede 7 volte su 100.000).

ps: cacchio che bel post!

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Post by CuginoIt » 25/05/2009 14:48

Forse ho trovato una risposta per la probabilita' di avere almeno una montagna e almeno una palude in prima mano (minuscolo ^^).

Allora:

Le settuple che non mi vanno bene (ragiono sempre in negativo ^^) sono quelle dove "non ho una palude" o "non ho una montagna" (o nel senso di OR).
Se conto le settuple dove non ho una montagna sono Binomiale[50,7]. Idem quelle dove non ho una palude.
I casi che non mi vanno bene sono percio'

2*Binomiale[50,7] - X

X sono i casi che conto due volte, cioe' quelli dove non ho ne' una palude ne' una montagna e sono Binomiale[40,7] (cioe' i casi in cui uno maliga ^^).

Di conseguenza la probabilita' che una mano non mi vada bene e':

(2*Binomiale[50,7] - Binomiale[40,7]) / Binomiale[60,7] = 47% circa

Quindi la probabilita' in cui la mano vada bene (ho almeno una montagna e almeno una palude) dovrebbe essere il 53,10% che e' un po' piu' alta di quella che dice Mano.

Il discorso di Mano e' lievemente sbagliato poiche', mi sembra, conti due volte il caso in cui ho due montagne nella mia mano (n! volte quando ne ho n) quando tolgo i casi che mi vanno male poiche' non ci sono paludi... Per questo la misura del "6 carte su 59" non e' equivalente al "tolgo la montagna nei casi in cui ho almeno una montagna e guardo quel che rimane" (almeno credo che l'errore sia questo... ma non ne sono sicurissimo).

In definitiva sono abbastanza convinto del risultato che vi ho dato e ho cercato il ragionamento piu' semplice per ottenerlo. Se non vi fidate potete cmq contare tutte le possibilita' (ho 1 montagna e una palude, 2 montagne e una palude, 3 montagne e una palude,..., 1 montagna e 2 paludi....).. e sommarle...

Ringraziate i miei capi che oggi latitano e non so che cosa fare senza prima sentirli....

Per Snuffz: io ho smesso di giocare a Magic quando, arrivando a Pisa, ho trovato gente che dichiarava cose del tipo: "con questo mazzo ho una probabilita' del 37% di avere mana infinito al secondo turno e una probabilita' del 46% di fare danni inifiniti al quarto round..."

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Post by Lysor_o.O » 25/05/2009 22:13

Quindi, QG, il tuo ragionamento è lo stesso della mia controprova. Io uso l'ipergeometrica, tu i coefficienti binomiali, ma è la stessa cosa (e infatti anche il risultato coincide! :wink: ). Ci ho pensato ancora, e sono giunto anche io alla conclusione che è quello corretto, se non altro perché è il più semplice: si calcola quand'è che si fallisce (quando le montagne sono 0 OR le paludi sono 0) e si inverte.

L'errore nel ragionamento di Mano credo (CREDO!!!) che sia questo: nel 74% dei casi c'è almeno una montagna in 7 carte, nel 69 c'è almeno una palude in 6 carte, ok, e tu dici che basta moltiplicarli per sapere quand'è che avvengono entrambi. Ma in quel 74% rientra per esempio anche il caso in cui le montagne che pesco sono 7, che esclude che ci possa essere una palude tra le rimanenti! Altrimenti staremmo dicendo che l'evento "Ci sono 7 carte, di cui 7 montagne e almeno 1 palude" può avverarsi! E se è per quello, anche nel 69% in cui c'è almeno una palude rientra il caso in cui le paludi sono 6: quindi non lo si può moltiplicare per quel 74%, ma solo per la probabilità che ci sia un'UNICA montagna. Altrimenti staremmo dicendo che l'evento "in 7 carte ci sono 2 montagne e 6 paludi" è possibile. In altre parole, sì, i 2 eventi non sono indipendenti, quindi non puoi moltiplicarli.

Col mio ragionamento (il primo, non la controprova) credevo di averlo corretto, ma ci deve essere qualche errore anche lì, anche se non riesco a trovarlo.

Comunque, Snuffz, anche io ho giocato a Magic, in passato... Ho iniziato più o meno con le Homelands (la più famosa credo sia l'Autumn Willow, e forse anche il Baron Sengir era una Homeland, non ricordo), mi sono fatto tra le altre Mirage, Vision, Weatherlight, Tempest, Stronghold, ma con le Stronghold ho smesso. Era il 1998, forse 1999, credo.
Però non ho mai avuto un approccio così scientifico, al gioco. Se non altro perché i calcoli che faccio ora (a fatica, come vedi) all'epoca non me li sarei mai potuti sognare: ho smesso in 1° liceo, queste cose le ho studiate al 2° anno di università...

Per le terre, comunque, tra di noi girava una regola pratica eccezionale. Non aveva un briciolo di fondamento teorico, eppure era straconfermata nella pratica (forse PROPRIO perché non c'era la teoria dietro! :asd: ): quando hai poche terre nel mazzo, non aggiungerle. Non serve, saranno sempre troppo poche. Invece, togline 2. Non una, non tre: due. Provare per credere! :wink:
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Tu vedi delle cose e chiedi: perché? Ma io sogno di cose che non ci sono mai state, e che forse non ci saranno mai, e dico: perché no?
--- Wolfgang Güllich

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Post by CuginoIt » 26/05/2009 09:54

Scusami Lysor, non avevo letto tutto il tuo post (non ho mai studiato questo tipo di ipergeometrica...).

Mea Culpa che scrivo senza aver letto tutto prima :sculacciata:

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Post by Mano[FA] » 01/11/2010 21:35

E bravi Lysor e QG. Come spesso in questi casi il trucco era calcolare le combinazioni che NON andavano bene :dho: :dho:


Last bumped by snuffz on 01/11/2010 21:35.

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